Propriedade Distributiva

Aplicamos técnicas matemáticas no intuito de determinar o valor da incógnita (valor não fornecido). Algumas equações são constituídas de parênteses os quais precisam ser eliminados na determinação do valor desconhecido. Essa simplificação dos parênteses pode ser feita através da utilização da propriedade distributiva. Após a aplicação da propriedade distributiva, o processo de resolução deve ser conduzido normalmente. 

a . (b + c) -> ab + ac 

(a + b) . (c + d) -> ac + ad + bc + bd

A propriedade da distributiva é muito aplicada na resolução de equações matemáticas e nas simplificações de várias expressões. Uma forma de compreendê-la é com exemplos da aritmética que possibilitam uma interpretação com mais significado. Vamos partir de uma situação em que o número de participantes de um concurso seja dividido igualmente em quatro salas, sendo que o máximo em cada sala seja 65 candidatos. Matematicamente podemos escrever que o total de participantes deste concurso é igual a: 

65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 325

Vamos decompor esta equação e reescreveremos o valor 65 em uma soma de duas ou mais parcelas. As possibilidade variarão de acordo com as necessidades que teremos em cada situação específica, vamos imaginar que no local do concurso há uma reforma e seja necessário reagrupar os candidatos em salas de 30 e 35 candidatos. Para este exemplo, utilizarei a seguinte composição :

65 = 35 + 30.

Na situação inicial, nós temos 5 x 65, agora podemos concluir que 5 x (35 + 30) trará a mesma solução, isto é, reagrupamos os candidatos porém todos continuam participando. Portanto podemos escrever que :

5 x 65 = (35 + 30) + (35 + 30) + (35 + 30) + (35 + 30) + (35 + 30) 

A repetição da decomposição 35,00 + 30,00 ocorre cinco vezes permitindo o reagrupamento da seguinte forma 5 x 35,00 + 5 x 30,00. Realizando as operações de soma e multiplicação em cada membro da expressão obtemos como resultado 325 = 175 + 150. 

Dessa forma, descobrimos que na expressão 5 x (35 + 30) o fator 5 pode ser distribuído antes de realizarmos a soma. Essa propriedade é conhecida como da distributiva e podemos testá-la, mais uma vez, mantendo o problema das nossas 5 somas de 65, e decompondo-as em um novo formato. 

5 x 65 = 5 x (100 - 40 + 5)

Mesmo que nesta decomposição de 65 não facilitar muito este cálculo, ela ajuda a generalizar essa importante propriedade. A propriedade da distributiva pode ser aplicada no produto em que os fatores são decompostos por meio da soma ou da subtração. 

5 x 65 = 5 x (100 - 4- + 5) = 5 x 100 - 4 x 40 + 5 x 5 = 325

Uma de suas aplicações ocorre em determinados modelos de equações como, por exemplo 4 . (x +2) = 5x - 4. Para o desenvolvimento da resolução desse tipo de equação temos que utilizar a propriedade da distributiva fazendo: 

4 . (x + 2) = 5x - 4

4x + 8 = 5x - 4

8 + 4 = 5x -4x

12 = x -> portanto x = 12

Probabilidade & Estatística

A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou desconhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.
A Estatística está presente em todas as áreas da ciência que envolvam o planejamento do experimento, a construção de modelos, a coleta, o processamento e a análise de dados e sua consequente transformação em informação, para validar hipóteses científicas sobre um fenômeno observável. Desta forma, a Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados.

A Estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organizálos, resumi-los, analisá-los, interpretá-los ,e deles extrair conclusões.

(TRIOLA, 1998).

• A partir de valores obtidos em uma amostra de uma certa população de interesse, descrevemos esta amostra e caracterizamos a população como um todo, generalizando as observações na amostra.
• Tirar conclusões sobre uma população com base em uma amostra de observações.

Estatística Descritiva : parte da estatística que descreve os aspectos importantes de um conjunto de características observadas.
Probabilidade: número que indica a chance de uma determinada situação ocorrer.
Inferência Estatística : parte da estatística que usa uma amostra para fazer generalizações a respeito de aspectos importantes de uma população.

Definições Básicas Iniciais

• População : Coleção completa de todos os elementos a serem estudados. (Ex.: todos os alunos da sala de aula)
• Censo : Coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. (Ex.: idade de todos os alunos da sala de aula)
• Amostra : Coleção de dados extraídos de uma parcela da população. (Ex.: idade de 10% dos alunos da sala de aula)
• Parâmetro : Medida numérica que descreve uma característica de uma população. (Ex.: idade média de toda a turma é um parâmetro)
• Estatística : Medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. (Ex.: idade média da turma baseada numa amostra de 10% dos alunos é uma estatística)
• Estimativa : Valor resultante do cálculo de uma estatística, quando usado para se ter uma ideia do parâmetro de interesse.

Escala Nominal

Os indivíduos são classificados em categorias segundo uma característica. Ex: sexo (masculino, feminino), hábito de fumar (fumante, não fumante), sobrepeso (sim, não). Não existe ordem entre as categorias e suas representações, se numéricas, são destituídas de significado numérico. Ex: sexo masculino=1, sexo feminino = 2. Os valores 1 e 2 são apenas rótulos. 

Escala Ordinal

Os indivíduos são classificados em categorias que possuem algum tipo inerente de ordem. Neste caso, uma categoria pode ser "maior" ou "menor" do que outra. Ex: nível sócio-econômico (A, B, C e D; onde A representa maior poder aquisitivo); Embora exista ordem entre as categorias, a diferença entre categorias adjacentes não tem o mesmo significado em toda a escala. 

Escala de Razões

• Discretas : O resultado numérico da mensuração é um valor inteiro. Ex: número de refeições em um dia (nenhuma, uma, duas, três, quatro, …)
• Contínuas : O resultado numérico é um valor pertencente ao conjunto dos números reais R ={-∞; ...; 0; 0,2; 0,73; 1; 2,48;...; +∞}. Ex: idade (anos), peso (g), altura (cm),nível de retinol sérico (µg/dl), circunferência da cintura (cm)

Escala Numérica Intervalar : Este nível de mensuração possui um valor zero arbitrário. Ex: temperatura em graus Celsius. 

Escala Numérica de Razões : Possui zero inerente á natureza da característica sendo aferida.

Abusos da Estatística

• Distorções deliberadas : “Pesquisas feitas entre usuários de TchauFumaça mostram que 98% deixou de fumar.” Duas pesquisas feitas entre os funcionários da empresa fabricante de TchauFumaça.
• Perguntas tendenciosas : “Você é a favor da suspensão do pagamento da dívida externa, sobrando assim mais dinheiro para ajudar as criancinhas famintas?”. “Você é a favor da proibição de fabrico e venda de armas mortíferas de fogo no Brasil?”
• Pressão do pesquisador ou ambiente : “Você já traiu seu(a) companheiro(a)?” Pergunta feita com o(a) companheiro(a) ao lado.
• Más amostras : Pesquisas feitas em sites da internet (pesquisa auto-selecionada) Não se pode concluir nada sobre a população em geral!

Gráficos Enganosos

Também existe o recurso muito utilizado nas propagandas com o objetivo único de enganar o consumidor, o investidor, o eleitor, etc.

 Podemos ver, por exemplo, neste gráfico ao lado, que a variação que parece um crescimento significativo, utilizando-se uma escala mais ampla, vemos que a diferença é mínima, estão somos levados a rever os números do primeiro gráfico e percebemos que a escala faz toda a diferença.

Neste outro gráfico, é ainda mais interessante, pois trás duas informações que estão ligadas, porém não faz a ponte de ligação entre elas.

Quem só estuda ? Mais homens ou mulheres ? Quantos estão desempregados ? Quantos trabalham ? Os valores aqui estão totalmente ocultos do observador, fazendo-nos crer que, dos 83% dos que só estudam, 52% é homem e 48% é mulher.

Outra informação que encontra-se oculta é a quantidade de pesquisados e onde foram feitas estas pesquisas...

Análise Combinatória

A Análise Combinatória caracteriza-se pelo entendimento e resolução de problemas relacionados às diversas possibilidades de combinação de elementos. Para a resolução destes problemas usaremos operações aritméticas como multiplicação ou múltiplas multiplicações, adições, subtrações e divisões.
Um campo conceitual, definido de uma maneira mais abrangente, é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, conceitos, relações, situações, estruturas, conteúdos e operações do pensamento; conectados e entrelaçados uns aos outros.
Por exemplo, para o campo conceitual das estruturas aditivas, o conjunto das situações que exigem uma adição (ou subtração, ou ambas), para as estruturas multiplicativas, o conjunto das situações que exigem uma multiplicação (ou divisão, ou ambas).

Os princípios aditivo e multiplicativo são as bases da Análise Combinatória e permitem resolver todos os problemas dessa área da Matemática, apesar de suas demais ferramentas.

• Princípio Aditivo: Se A e B forem conjuntos disjuntos – isto é, com intersecção vazia, e o número de elementos de A é p e o número de elementos de B é q, então o conjunto AUB tem p + q elementos.

Traduzindo, digamos que você tenha que se deslocar pela cidade, você terá a opção de ir a pé, de bicicleta, de condução própria ou transporte público. Você tem, neste caso, quatro opções, porém irá decidir por apenas uma delas.

• Princípio Multiplicativo: Se um evento A pode ocorrer de p maneiras distintas e um evento B pode ocorrer de q maneiras distintas, então o evento A seguido do, ou simultâneo ao, evento B pode ocorrer de p . q (p vezes q) maneiras distintas.

Traduzindo, ainda sobre deslocamento pela cidade, você pode ir a pé até uma estação de metrô, por exemplo e seguir o trajeto de metrô, mas também pode ir de bicicleta ou de carro, deixa-los lá e seguir de metrô. Depois pegar outra condução, ônibus intermunicipal ou de viagem, por exemplo, então, neste caso, você terá uma situação em que irá somar as opções e dentro desta mesma resolução, haverá uma multiplicação, como vermos logo a seguir.

Princípio Aditivo

Se existem “m” maneiras de tomar a decisão 'D¹' e “n” maneiras de tomar a decisão 'D²', sendo D¹ e D² independentes, então o número de maneiras de optar pela decisão D¹ ou pela decisão D² é m + n.

Exemplificando :

Na cantina existam cinco tipos de suco de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com ou sem gás. Você deseja, para matar sua sede, pedir um único tipo de bebida entre as anteriores, sem repetições. Quantas opções de escolha existem?

Como você escolherá apenas uma delas, um dos sucos ou uma das águas minerais, então terá 7 (5 + 2) opções de escolha.

Em um outro exemplo, José quer instalar internet em sua residência. Após uma análise de possíveis provedores, verificou que existem 5 opções entre os provedores de acesso de banda larga, 2 provedores de acesso por rádio e 3 provedores de acesso do tipo discada. Se ele deseja acessar a internet, deve escolher uma das opções acima, quantas possibilidades ele tem para acessar a internet ?

Como ele vai adquirir apenas um acesso à internet, ele tem 5 (banda larga) + 2 (rádio) + 3 (discado) = 10 opções de acesso, a cláusula ou está implícita, já que ele não irá optar por mais do que um tipo de acesso.

Princípio Multiplicativo

Se existem “m” maneiras de tomar a decisão D1 e, para cada uma dessas maneiras, existem “n” maneiras de

tomar a decisão D2, então o número de maneiras de tomar sucessivas decisões D1 e D2 é m . n.

• Embora o enunciado anterior contemple apenas duas decisões, é importante destacar que o princípio pode ser estendido para mais escolhas.

Ainda em nossa cantina, vamos supor que existam cinco tipos de suco de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju, porém, cada um dos sucos podem ser feitos com água OU com leite. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com ou sem gás. Você deseja, para matar sua sede, pedir um único tipo de bebida entre as anteriores, sem repetições. Quantas opções de escolha existem?

Agora surge um novo fator para que nós possamos resolver nosso problema, sabemos como resolver quando tratava-se apenas dos sucos, mas agora os sucos podem ser formados de maneiras distintas, portanto, teremos que multiplicar o número de opções de suco pelo número de opções de preparação do

mesmo, isto é, teremos 5 (sucos) x 2 (modos de preparação), assim a lanchonete está oferecendo 10 tipos de bebidas diferentes.

Mas não podemos nos esquecer das águas, são mais duas opções, portanto 10 (sucos) + 2 (águas) = 12 opções de bebida.

Com base nas explicações acima, podemos voltar ao Princípio Fundamental da Contagem :

Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 5 e 9 de modo que?

1. Os algarismos possam ser repetidos?
2. Os algarismos sejam distintos?

Entendendo, na proposta “1”, é possível que todos os três algarismos sejam iguais, portanto, podemos ter como resposta “111”, “123”, “323”, etc. Como todos os dígitos podem se repetir, então nós teremos cinco possibilidades para compor cada uma das três posições. Assim sendo, nós teremos :

• 5 . 5 . 5 = 125

Logo, podemos formar 125 combinações.

Na proposta “b”, os números que irão compor o conjunto de três dígitos, tem que ser todos diferentes.

Como os números tem de ser distintos, isto é, uma vez escolhido um número para compor o conjunto, ele não poderá voltar a ser escolhido, deve ser removido das opções. Assim sendo, nós teremos :

• 5 . 4 . 3 = 60

Logo, existem 60 combinações possíveis para esta restrição.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um robô, poderemos utilizar três dispositivos diferentes para servir de "olhos", quatro tipos de movimentação para a locomoção, dois tipos de armazenamento de informações e três opções de tamanho. Para saber o numero de diferentes
possibilidades de robôs que podem ser montados com essas peças, basta multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. Pela figura acima, fica um pouco mais simples entendermos como funcionará a distribuição. Imaginemos que c1 refere-se às formas de visão do nosso robô, par cada forma de visão, nós teremos quatro dispositivos de movimentação, só aqui, nós já estamos trabalhando com doze possibilidades de combinação diferentes.
Continuando, para cada opção de visão e locomoção, teremos dois dispositivos de armazenamento, chegamos a vinte e quatro combinações diferentes. Acrescentando as opções de tamanho (pequeno, médio e grande, por exemplo) nós alcançaremos as setenta e duas possibilidades de combinação.
É muito comum encontrarmos exemplos mais simples, com três calças e quatro camisas, por exemplo, totalizando doze possibilidades de combinação. Mas eu preferi mostrar que as combinações podem crescer e tornar-se mais completas conforme aumentamos as possibilidades.

Dentro destas nossas possibilidades de combinação, existem situações em que não será feita uma multiplicação e sim uma soma, vamos ver como funciona :
Você foi ao restaurante e encontrou 3 tipos diferentes de arroz, 2 de feijão, 3 de salada, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?
A resolução é simples: 3 (arroz) x 2 (feijão) x 3 (salada) = 18 , somente pela comida. Como o cliente
não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Deixando mais claro, eu posso pegar noventa bandejas e prepara-las de forma diferente, sem repetição.
Podemos incrementar nosso exercício incluindo alguns tipos de carne e sobremesas, por exemplo, as possibilidades de combinação são limitadas pela sua imaginação.

Um outro exemplo : No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras em nosso alfabeto. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par.
A primeira parte da resolução é entender que as letras podem se repetir, portanto, para cada uma das três posições teremos 26 possibilidades. Depois, basta multiplicar.

• 26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras

Como nós trabalhamos com o sistema decimal, nós temos dez possibilidades em cada uma das três posições numéricas, na quarta posição, existe uma restrição, tem que ser um número par, portanto só teremos cinco possibilidades :

• 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes: 17.576 (letras) x 5.000 (números) = 87.880.000
Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par.

Uma parte fundamental deste princípio é a análise combinatória, que será tratada em outra postagem.

Paradoxo de Russell

Em 1901, Russell tomou conhecimento do trabalho desenvolvido por Frege em "Grundgesetze der Arithmetik". Mas apenas em 1902 teve oportunidade de o analisar detalhadamente e de "fazer um estudo mais rigoroso", como  refere na carta que mais tarde enviou a Gottlob Frege. Nesta obra, Frege tentava reduzir a aritmética à lógica e Russell, ao analisa-la, descobre uma contradição no sistema proposto. Como escreve:

    "Há apenas um ponto onde encontrei uma dificuldade. O colega diz que uma função também pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradição. Seja w o predicado: para ser predicado, não pode ser predicado de si próprio. Pode w ser predicado de si próprio?"

Carta enviada por Russell a Frege, 16 de Junho de 1902

"Um cientista dificilmente se pode deparar com algo tão indesejável como o de ver os fundamentos ruírem exactamente quando o seu trabalho está terminado. Fui colocado nesta posição por uma carta do Sr. Bertrand Russell, quando o trabalho já estava quase todo impresso."

A resposta de Frege à indagação de Russell. 

Como acredito que a explicação de nosso amigo Russell não ficou totalmente clara para nós, vamos exemplificar com o dilema do barbeiro.

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:

• Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.
• Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

O paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1.

Podemos tentar contra-argumentar que ele deva ir a outro barbeiro, porém afirmaremos que todos seguem às mesmas condições...
O grande dilema aqui envolvido encontra-se na palavra "Só", isto é, se não existisse esta palavra, o barbeiro poderia se auto-barbear. O importante é que devemos sempre estar atentos aos detalhes das questões que nos são propostas, algumas delas poderão nos levar a estes dilemas...

Em resultado do paradoxo, Frege viu-se obrigado a abandonar muitos dos seus pontos de vista. Russell, que entretanto publica "The Principles of Mathematics" (1903), acrescenta também ao seu livro um apêndice onde explica em detalhe o paradoxo.

    Segundo Russell, o paradoxo surge por haver uma violação do princípio do círculo vicioso. Em colaboração com Alfred North Whitehead, Russell reformula e recupera o programa logicista de Frege baseando-se para isso no bloqueio dos círculos viciosos através da doutrina dos tipos lógicos. Resulta daí a denominada teoria dos tipos que se revelou uma forma problemática de desenvolver a teoria dos conjuntos. 

Teoria Ingênua dos Conjuntos

A Teoria dos conjuntos  é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de conjunto.
Tal teoria ficou conhecida também como "teoria ingênua" ou "teoria intuitiva" por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica.

Um paradoxo é uma proposição que, apesar de aparentar um raciocínio coerente, demonstra falta de nexo ou de lógica, escondendo contradições decorrentes de uma análise incorreta de sua estrutura interna.

Axioma : Evidência cuja comprovação é dispensável por ser óbvia; princípio evidente por si mesmo. Expressão que contém um sentido moral ou geral; provérbio, máxima ou sentença. Matemática. Noção comum; afirmação geral aceita sem discussão: "a parte é menor que o todo" é um exemplo de axioma. Gramática. Representação inicial das regras sintagmáticas; estrutura correta sem explicação comprovada. 

O conhecimento prévio desta teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc. Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:

• Um conjunto unitário possui um único elemento
• Dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos
• Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento

Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.

A ideia de conjunto era um conceito primitivo e auto explicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus elementos é denominada "forma de listagem". Poderia-se representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do conjunto Z representado abaixo:
Z = {1,3,5,7,9,11, ... }
teríamos, concluindo:
Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, ... }.

Merece destaque outras relações básicas, que independem de um cálculo matemático mais complexo, utilizando-se lógica básica e pura.
São exemplos desta afirmação as relações a seguir:

1. Pertinência
2. Subconjunto
3. Conjuntos numéricos fundamentais
4. União

Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:

Dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou "x" pertence ao conjunto A. Caso "x" não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A. Um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado pela letra grega φ (phi) - Não confundir com o número π (Pi, 3,14159265...)

Subconjunto : Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que "A é subconjunto de B": A ⊂ B

Conjuntos Fundamentais : Trata-se de qualquer conjunto cujos elementos são números, entre eles, o Conjunto de números naturais 

N = {0,1,2,3,4,5,6...}; 

Conjunto de números inteiros 

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } (sendo que N ⊂ Z);

Conjunto de números racionais 

Q = { 2/3,  -3/7,   0,001,   0,75,   3,  etc.) 

(sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); 

Conjunto de números irracionais, etc. (Veja as outras postagens aqui neste Blog)

Ocorre união quando o conjunto união contempla todos os elementos de dado conjunto A ou de dado conjunto B.

Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}

Assim, através de suas numerosas combinações, que fornecem poderosa ferramenta para a construção da matemática de base axiomática, apesar de seu conteúdo predominantemente dedutivo, logo surgiu o "Paradoxo de Russel", que é a contradição mais famosa da teoria dos conjuntos.

Princípio Fundamental da Contagem

Este princípio é vagamente estudado no ensino básico e superficialmente tratado no ensino secundário, apesar de sua simplicidade, muitos encontram grande dificuldade em compreende-lo e coloca-lo em prática. Principalmente quando não se entende corretamente a sua utilização e suas implicações no dia a dia.
A base deste princípio é a possibilidade de combinarmos diferentes objetos e oferecermos diferentes opções para satisfazermos nossas necessidades. Uma forma de resolver este tipo de problema é justamente fazendo uma contagem das possibilidades.
O primeiro passo é entendermos como funciona a combinação de diversos elementos e o que isso resulta, para tanto podemos utilizar a imagem acima como referência. Temos as possibilidades c1, c2 e c3 e queremos verificar como uni-las em pares, sem que para isso tenhamos alguma repetição. Escolhemos as opções c1, c2 e c3 como primeira possibilidade e depois colocaremos as demais opções em combinação, excluindo-se a primeira. Ficamos com as seguintes combinações (c1, c2) (c1, c3) (c2, c1) (c2, c3)...
Podemos até dizer que (c1, c2) e (c2, c1) são os mesmos objetos, porém, em análise combinatória, se não houver nenhuma restrição específica, então estamos tratando de dois objetos diferentes.

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Na situação anterior, temos três objetos (c1, c2 e c3), combinados em pares. Então teremos 3 objetos multiplicado por 2 pares -> teremos seis opções diferentes.

Digamos que temos um restaurante e queremos servir dois tipos diferentes de arroz, três de feijão, quatro de saladas e cinco de carnes. Se cada cliente for pegar apenas um item de cada possibilidade, nós teremos a possibilidade de fazer quantas combinações ? 2 (arroz) x 3 (feijão) x 4 (salada) x 5 (carne) = 120 possibilidades, isto é, cada cliente tem a opção de formar seu prato de 120 formas diferentes.
Agora imaginemos que neste mesmo restaurante o cliente possa escolher três variedades de cerveja OU quatro variedades de refrigerante OU cinco variedades de sucos, a forma que iremos compor a bandeja de nosso cliente sofrerá uma alteração, pois quando dizemos que ele pode escolher um OU outro, quer dizer que ele não poderá tomar refrigerante E cerveja, ou um ou outro. Neste caso, uniremos as opções através de uma SOMA, ele terá 3 (cerveja) + 4 (refrigerante) + 5 (suco) = 12 opções de bebidas.
Para terminarmos a composição da bandeja de nosso cliente teremos 120 combinações de alimentos e 12 opções de bebidas, então teremos 120 (alimentos) x 12 (bebidas) totalizando 1440 combinações possíveis de bandeja. Sem repetição.

É muito importante que saibamos LER o que a questão está nos pedindo, para podermos formular adequadamente uma resposta precisa e exata.