Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um robô, poderemos utilizar três dispositivos diferentes para servir de "olhos", quatro tipos de movimentação para a locomoção, dois tipos de armazenamento de informações e três opções de tamanho. Para saber o numero de diferentes
possibilidades de robôs que podem ser montados com essas peças, basta multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. Pela figura acima, fica um pouco mais simples entendermos como funcionará a distribuição. Imaginemos que c1 refere-se às formas de visão do nosso robô, par cada forma de visão, nós teremos quatro dispositivos de movimentação, só aqui, nós já estamos trabalhando com doze possibilidades de combinação diferentes.
Continuando, para cada opção de visão e locomoção, teremos dois dispositivos de armazenamento, chegamos a vinte e quatro combinações diferentes. Acrescentando as opções de tamanho (pequeno, médio e grande, por exemplo) nós alcançaremos as setenta e duas possibilidades de combinação.
É muito comum encontrarmos exemplos mais simples, com três calças e quatro camisas, por exemplo, totalizando doze possibilidades de combinação. Mas eu preferi mostrar que as combinações podem crescer e tornar-se mais completas conforme aumentamos as possibilidades.

Dentro destas nossas possibilidades de combinação, existem situações em que não será feita uma multiplicação e sim uma soma, vamos ver como funciona :
Você foi ao restaurante e encontrou 3 tipos diferentes de arroz, 2 de feijão, 3 de salada, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?
A resolução é simples: 3 (arroz) x 2 (feijão) x 3 (salada) = 18 , somente pela comida. Como o cliente
não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Deixando mais claro, eu posso pegar noventa bandejas e prepara-las de forma diferente, sem repetição.
Podemos incrementar nosso exercício incluindo alguns tipos de carne e sobremesas, por exemplo, as possibilidades de combinação são limitadas pela sua imaginação.

Um outro exemplo : No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras em nosso alfabeto. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par.
A primeira parte da resolução é entender que as letras podem se repetir, portanto, para cada uma das três posições teremos 26 possibilidades. Depois, basta multiplicar.

• 26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras

Como nós trabalhamos com o sistema decimal, nós temos dez possibilidades em cada uma das três posições numéricas, na quarta posição, existe uma restrição, tem que ser um número par, portanto só teremos cinco possibilidades :

• 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes: 17.576 (letras) x 5.000 (números) = 87.880.000
Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par.

Uma parte fundamental deste princípio é a análise combinatória, que será tratada em outra postagem.