Análise Combinatória

A Análise Combinatória caracteriza-se pelo entendimento e resolução de problemas relacionados às diversas possibilidades de combinação de elementos. Para a resolução destes problemas usaremos operações aritméticas como multiplicação ou múltiplas multiplicações, adições, subtrações e divisões.
Um campo conceitual, definido de uma maneira mais abrangente, é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, conceitos, relações, situações, estruturas, conteúdos e operações do pensamento; conectados e entrelaçados uns aos outros.
Por exemplo, para o campo conceitual das estruturas aditivas, o conjunto das situações que exigem uma adição (ou subtração, ou ambas), para as estruturas multiplicativas, o conjunto das situações que exigem uma multiplicação (ou divisão, ou ambas).

Os princípios aditivo e multiplicativo são as bases da Análise Combinatória e permitem resolver todos os problemas dessa área da Matemática, apesar de suas demais ferramentas.

• Princípio Aditivo: Se A e B forem conjuntos disjuntos – isto é, com intersecção vazia, e o número de elementos de A é p e o número de elementos de B é q, então o conjunto AUB tem p + q elementos.

Traduzindo, digamos que você tenha que se deslocar pela cidade, você terá a opção de ir a pé, de bicicleta, de condução própria ou transporte público. Você tem, neste caso, quatro opções, porém irá decidir por apenas uma delas.

• Princípio Multiplicativo: Se um evento A pode ocorrer de p maneiras distintas e um evento B pode ocorrer de q maneiras distintas, então o evento A seguido do, ou simultâneo ao, evento B pode ocorrer de p . q (p vezes q) maneiras distintas.

Traduzindo, ainda sobre deslocamento pela cidade, você pode ir a pé até uma estação de metrô, por exemplo e seguir o trajeto de metrô, mas também pode ir de bicicleta ou de carro, deixa-los lá e seguir de metrô. Depois pegar outra condução, ônibus intermunicipal ou de viagem, por exemplo, então, neste caso, você terá uma situação em que irá somar as opções e dentro desta mesma resolução, haverá uma multiplicação, como vermos logo a seguir.

Princípio Aditivo

Se existem “m” maneiras de tomar a decisão 'D¹' e “n” maneiras de tomar a decisão 'D²', sendo D¹ e D² independentes, então o número de maneiras de optar pela decisão D¹ ou pela decisão D² é m + n.

Exemplificando :

Na cantina existam cinco tipos de suco de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com ou sem gás. Você deseja, para matar sua sede, pedir um único tipo de bebida entre as anteriores, sem repetições. Quantas opções de escolha existem?

Como você escolherá apenas uma delas, um dos sucos ou uma das águas minerais, então terá 7 (5 + 2) opções de escolha.

Em um outro exemplo, José quer instalar internet em sua residência. Após uma análise de possíveis provedores, verificou que existem 5 opções entre os provedores de acesso de banda larga, 2 provedores de acesso por rádio e 3 provedores de acesso do tipo discada. Se ele deseja acessar a internet, deve escolher uma das opções acima, quantas possibilidades ele tem para acessar a internet ?

Como ele vai adquirir apenas um acesso à internet, ele tem 5 (banda larga) + 2 (rádio) + 3 (discado) = 10 opções de acesso, a cláusula ou está implícita, já que ele não irá optar por mais do que um tipo de acesso.

Princípio Multiplicativo

Se existem “m” maneiras de tomar a decisão D1 e, para cada uma dessas maneiras, existem “n” maneiras de

tomar a decisão D2, então o número de maneiras de tomar sucessivas decisões D1 e D2 é m . n.

• Embora o enunciado anterior contemple apenas duas decisões, é importante destacar que o princípio pode ser estendido para mais escolhas.

Ainda em nossa cantina, vamos supor que existam cinco tipos de suco de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju, porém, cada um dos sucos podem ser feitos com água OU com leite. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com ou sem gás. Você deseja, para matar sua sede, pedir um único tipo de bebida entre as anteriores, sem repetições. Quantas opções de escolha existem?

Agora surge um novo fator para que nós possamos resolver nosso problema, sabemos como resolver quando tratava-se apenas dos sucos, mas agora os sucos podem ser formados de maneiras distintas, portanto, teremos que multiplicar o número de opções de suco pelo número de opções de preparação do

mesmo, isto é, teremos 5 (sucos) x 2 (modos de preparação), assim a lanchonete está oferecendo 10 tipos de bebidas diferentes.

Mas não podemos nos esquecer das águas, são mais duas opções, portanto 10 (sucos) + 2 (águas) = 12 opções de bebida.

Com base nas explicações acima, podemos voltar ao Princípio Fundamental da Contagem :

Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 5 e 9 de modo que?

1. Os algarismos possam ser repetidos?
2. Os algarismos sejam distintos?

Entendendo, na proposta “1”, é possível que todos os três algarismos sejam iguais, portanto, podemos ter como resposta “111”, “123”, “323”, etc. Como todos os dígitos podem se repetir, então nós teremos cinco possibilidades para compor cada uma das três posições. Assim sendo, nós teremos :

• 5 . 5 . 5 = 125

Logo, podemos formar 125 combinações.

Na proposta “b”, os números que irão compor o conjunto de três dígitos, tem que ser todos diferentes.

Como os números tem de ser distintos, isto é, uma vez escolhido um número para compor o conjunto, ele não poderá voltar a ser escolhido, deve ser removido das opções. Assim sendo, nós teremos :

• 5 . 4 . 3 = 60

Logo, existem 60 combinações possíveis para esta restrição.