Paradoxo de Russell

Em 1901, Russell tomou conhecimento do trabalho desenvolvido por Frege em "Grundgesetze der Arithmetik". Mas apenas em 1902 teve oportunidade de o analisar detalhadamente e de "fazer um estudo mais rigoroso", como  refere na carta que mais tarde enviou a Gottlob Frege. Nesta obra, Frege tentava reduzir a aritmética à lógica e Russell, ao analisa-la, descobre uma contradição no sistema proposto. Como escreve:

    "Há apenas um ponto onde encontrei uma dificuldade. O colega diz que uma função também pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradição. Seja w o predicado: para ser predicado, não pode ser predicado de si próprio. Pode w ser predicado de si próprio?"

Carta enviada por Russell a Frege, 16 de Junho de 1902

"Um cientista dificilmente se pode deparar com algo tão indesejável como o de ver os fundamentos ruírem exactamente quando o seu trabalho está terminado. Fui colocado nesta posição por uma carta do Sr. Bertrand Russell, quando o trabalho já estava quase todo impresso."

A resposta de Frege à indagação de Russell. 

Como acredito que a explicação de nosso amigo Russell não ficou totalmente clara para nós, vamos exemplificar com o dilema do barbeiro.

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:

• Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.
• Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

O paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1.

Podemos tentar contra-argumentar que ele deva ir a outro barbeiro, porém afirmaremos que todos seguem às mesmas condições...
O grande dilema aqui envolvido encontra-se na palavra "Só", isto é, se não existisse esta palavra, o barbeiro poderia se auto-barbear. O importante é que devemos sempre estar atentos aos detalhes das questões que nos são propostas, algumas delas poderão nos levar a estes dilemas...

Em resultado do paradoxo, Frege viu-se obrigado a abandonar muitos dos seus pontos de vista. Russell, que entretanto publica "The Principles of Mathematics" (1903), acrescenta também ao seu livro um apêndice onde explica em detalhe o paradoxo.

    Segundo Russell, o paradoxo surge por haver uma violação do princípio do círculo vicioso. Em colaboração com Alfred North Whitehead, Russell reformula e recupera o programa logicista de Frege baseando-se para isso no bloqueio dos círculos viciosos através da doutrina dos tipos lógicos. Resulta daí a denominada teoria dos tipos que se revelou uma forma problemática de desenvolver a teoria dos conjuntos.