Radiciação - Raiz

^{A extração de raízes (radiciação) de um número é o processo de identificação do que chamamos quadrado perfeito. Representamos por onde “n” é denominado índice da raiz e “x” é chamado de radicando e, finalmente o “a” é definido como raiz.} 

^{O mais comum é encontrarmos equações quadráticas e cúbicas, porém é possível se extrair raízes de qualquer outro índice.} Por definição, quando tratamos de raiz quadrada, nós omitimos o índice sem que isso venha a interferir no seu conceito ou resultado

Quadrados Perfeitos e Raízes Quadráticas

^{Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo (veja exponenciação). Por exemplo, o número 16 é um quadrado perfeito, pois ele resulta da multiplicação também podendo ser identificado pela potência, leia-se quatro ao quadrado.}

^{Há uma forma mais comum de representar um número com estas características (quadrado perfeito). Para representá-lo é utilizada a raiz quadrada. Por exemplo, se procurarmos a raiz quadrada de 4 (podemos chamar de raiz de quatro), devemos descobrir o número que, multiplicado por si mesmo resulte neste valor. Como é um exemplo simples, não teremos dificuldade em chegar ao número dois, pois 2² = 4. Por isso a radiciação é a operação inversa da potenciação.}

^{Traduzindo, a raiz de um número “x” corresponde ao número que, quando elevado ao quadrado também resulte em “x”, vejamos o exemplo :}

^{Alguns dos números irracionais (veja a outra postagem neste blog) são gerados pela resolução de raízes que não podem ser identificadas em uma multiplicação convencional, multiplicando-se números inteiros ou reais por si mesmos. Por exemplo :}

Para as raízes cúbicas, não serão apenas os números positivos que nos trarão a solução, como é o caso das quadráticas, lembrando-se sempre das regrinhas de multiplicação entre números positivos e negativos, porém o princípio permanecerá o mesmo. Teremos o seguinte exemplo : pois sabemos que 3³ = 27, no caso de já que -3³ = -27.^{Mas também poderemos encontrar números racionais em uma raiz aparentemente complexa :}

^{Porém, se não soubéssemos que 3³ = 27, como faríamos para identificar este número ? Uma das maneiras é a fatoração, vamos dividir o radicando sucessivas vezes pelos números primos, até chegarmos a um, então teremos a consciência de como este número é composto} 

^{Desta forma podemos saber que 3.3.3 = 27 então podemos deduzir que 3³ = 27, assim encontramos o resultado esperado. Se desejarmos saber qual é a raiz de duzentos, como podemos proceder ?}

^{Teremos 2.2.2.5.5 ou então 2³ . 5² → Simplificando podemos ter 2.(2.5)² → com um pouco de imaginação e criatividade, poderemos utilizar os recursos matemáticos a nosso favor e resolver contas mais complexas, simplificando-as.}

^{Estas raízes (cúbicas) também poderão trazer números não exatos, colocando-nos novamente diante do conjunto dos números irracionais, por exemplo : é um número irracional, já a equação resulta em um número racional.}

^{Mas o que nos interessa, de fato, é a possibilidade de calcular a raiz de qualquer índice que nos seja proposto, para isso declaramos raiz enésima, onde o índice é um número “n” diferente de dois e de três. A forma de calcular não irá mudar, sendo que o “n” (índice) em questão representa o número de vezes em que a raiz será multiplicada por si mesma até encontrarmos o radicando, isto é, que número elevado à potência “n” será igual ao radicando procurado.}

^{Algumas propriedades importantes, para qualquer número natural n > 1 :}

Potenciação ou Exponenciação

Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um determinado número real (veja o conjunto de números reais em outra postagem) que será conhecido como base, por ele mesmo “n” vezes, “n” será conhecido como potência, normalmente um número natural.

Por exemplo : 5² (entenda-se cinco ao quadrado ou cinco elevado à segunda potência). 

Neste exemplo, o número cinco será multiplicado por ele mesmo, aparecendo duas vezes na equação :

Se colocarmos este número à terceira potência, ou ao cubo, então o número cinco aparecerá três vezes nesta equação :  

Como em toda a matemática, existem algumas regrinhas básicas que devem ser memorizadas :

• n¹ = n → n elevado à primeira potência é igual a ele mesmo, normalmente não representamos a primeira potência, por que, conforme vimos acima, é o número de vezes que o elemento aparecerá na equação, este caso, uma única vez.
• n⁰ = 1, sendo que “n” é diferente de zero, já que zero, multimplicado por qualquer outro número será sempre zero.

Multiplicação de potências de bases iguais, mantenha-se a base e SOME os expoentes :

Quando as bases são diferentes porém as potências são iguais, podemos trabalha-las da seguinte forma :

e chegaremos à seguinte conclusão :

Quando necessitamos efetuar uma divisão de duas potências coma mesma base, iremos manter as bases e SUBTRAIR os expoentes, lembrando de manter a ordem correta dos expoentes :

Quando temos as bases diferentes e expoentes iguais, então podemos simplificar da seguinte forma :

 

Na situação em que a potência de um número está elevada a potência, devemos manter a base e MULTIPLICAR os expoentes :

Atenção, as duas situações abaixo não são equivalentes :

Na primeira situação, nós resolveremos o que está entre os parênteses para depois elevarmos a “m”, na segunda, nós iremos elevar “n” a “m” para depois elevar o “x” ao resultado da operação anterior.

Quando temos uma equação entre parênteses que está elevado a uma potência :

 

 

Sendo que “b” deve ser diferente de zero

Quando tivermos que trabalhar a potência de números negativos, temos que ter especial atenção à composição do mesmo, veja o seguinte exemplo :

^{Quando o número em questão estiver dentro dos parênteses, significa que TODO o conteúdo dentro dos parênteses deverá ser multiplicado por si mesmo, neste caso (-3).(-3) = 9 (positivo, já que acontece uma multiplicação de dois números negativos). Porém, se elevarmos a um número ímpar, então o resultado será negativo, já que teremos a situação menos vezes menos vezes menos.
Quando o número não estiver entre parênteses, significa que somente o número em questão será multiplicado, o sinal será atribuído posteriormente.
Expoentes negativos tem uma atribuição diferenciada em que o número base sofrerá uma “inversão”, veja os exemplos :}

Baseando-se neste princípio, teremos também o seguinte :

^{Outros exemplos :}

^{Podemos ter também potência de expoentes fracionários :}

^{Quando o expoente de uma potência é uma fração, resulta em uma raiz cujo índice é o denominador da fração.}

Fatoração - Colocando em Evidência

Fatorar é reescrever uma expressão algébrica em forma de um produto de fatores. Quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos, na verdade, que esta expressão seja transcrita como produto de fatores, os mais simples possíveis. A forma mais simples de efetuar esta transformação é colocando em evidência, que significa, dividir todos os termos da expressão por esse fator que é comum a todos os termos.
Por exemplo : ab + ac
Temos "a" como fator comum a ambos os termos, então coloca-se a em evidência , divide-se "ab" por "a", sobra "b", divide-se "ac" por "a", sobra "c", logo teremos:

a (b+c)

Partindo-se do exemplo acima, podemos expressa-lo das mais diversas formas, sem, contudo, nos assustar com a equação, como podemos ver abaixo :

A possibilidade de simplificação aparecerá nos casos em que possa ser lembrado o conceito de fração equivalente. Para algumas situações, fica fácil perceber que quando temos o mesmo número multiplicando o numerador e o denominador, esses dois números podem ser cancelados mantendo a equivalência. Um desses números poderá ser o fator que foi colocado em evidência. 

Mesmo quando o fator não estiver tão evidente podemos descobri-lo com o desenvolvimento de algumas práticas exercitando a multiplicação. 

Identificando um fator comum não evidente

Em alguns casos o fator comum não está tão claro como nas sentenças acima. Vejamos este outro exemplo:

Uma forma de identificá-lo é decompormos os coeficientes numéricos em fatores primos e decompormos a parte literal como vemos abaixo:

Agora podemos facilmente identificar que um fator 3 e outro fator 5, assim como dois fatores x são comuns aos dois termos, então o fator comum é:

Podemos então identificar que 15x² é o fator comum da seguinte maneira: Primeiro calculamos o MDC (Maximo Divisor Comum) dos coeficientes numéricos:

MDC(225, 30) = 15

15 é o coeficiente numérico do fator comum. Agora para a parte literal pegamos as variáveis com menor expoente que são comuns a todos os termos. Neste nosso exemplo apenas a variável x é comum aos dois termos, sendo que no segundo termo ela possui o expoente 2 que é o menor deles. Portanto x² é a parte literal do fator comum.

Este procedimento que fizemos para a parte literal, nada mais foi que calcularmos o MDC(x³, x²y).

Multiplicando 15 por x² chegamos ao fator comum procurado: 15x^2. Em outras palavras, o fator comum é o máximo divisor comum dos termos envolvidos.

Agora que sabemos que 15x² é o fator comum, podemos colocá-lo em evidência, exatamente como fizemos nos exemplos anteriores: