Números Irracionais

Nem todos os números que irão compor o conjunto de números Reais podem ser expressados através de uma divisão simples entre dois números Inteiros, como foi explicado na postagem sobre os números Racionais.
A necessidade de criação deste conjunto específico se deu quanto a trigonometria, geometria e aritmética tiveram que ser representadas adequadamente.O exemplo clássico é o calculo da diagonal do quadrado de lado UM.
A partir deste exemplo geométrico, traremos um problema aritmético, pois é impossível representar o resultado de uma raiz quadrada, de alguns números específicos, com a simples divisão entre dois números inteiros.

Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número.

Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. 

Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.

Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas.

 O IRRACIONAL ø

    ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:
- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;
- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;
- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.