Números Complexos

A criação do conjunto dos números Reais se deu ao longo de todo o processo de evolução da Matemática, atendendo às necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Vamos resolver a equação (x² + 2x + 5 = 0) aplicando o Teorema de Báskara : ->

Ao desenvolver o teorema iremos nos deparar com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado um número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1.
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855). Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Observe o processo: 

O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.

A definição como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.

• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então  = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi ,  = a – bi e z₁ = c + di

Para calcularmos a razão entre z₁ e z devemos: 

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| = 

Pela representação gráfica temos que 

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z =  iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que 
Onde 

Assim sua representação na forma trigonométrica é  .

Números Reais

Os números Reais são os números como nós os conhecemos e utilizamos hoje em dia, vão além dos números Inteiros, por que tem infinitas representações entre um par de números Inteiros, isto é, entre o número um e dois, há incontáveis números fracionados, estes são os números Reais. Então, além de conter todos os números do grupo dos números Inteiros, também contém representação entre cada um desses números.
Todos os números que podem ser marcados em uma reta, a reta real. Compreende os inteiros, os fracionários (conjunto dos racionais) e ainda os irracionais.

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Como visto em outra postagem.

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções. 

Números Irracionais

Nem todos os números que irão compor o conjunto de números Reais podem ser expressados através de uma divisão simples entre dois números Inteiros, como foi explicado na postagem sobre os números Racionais.
A necessidade de criação deste conjunto específico se deu quanto a trigonometria, geometria e aritmética tiveram que ser representadas adequadamente.O exemplo clássico é o calculo da diagonal do quadrado de lado UM.
A partir deste exemplo geométrico, traremos um problema aritmético, pois é impossível representar o resultado de uma raiz quadrada, de alguns números específicos, com a simples divisão entre dois números inteiros.

Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número.

Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. 

Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.

Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas.

 O IRRACIONAL ø

    ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:
- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;
- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;
- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.

Números Racionais

Os números Racionais, representados pela letra Q, são números cuja representação está ligada diretamente à sua composição à partir de números Inteiros. Por exemplo : -5, 3/4, 7/9, -1. Portanto podemos descreve-los da seguinte forma :

Os números Racionais, ao contrário dos números Naturais e Inteiros, não possuem restrição quanto à divisão, pois tanto as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre dois números Racionais sempre irá gerar novos números Racionais. Com a exceção da divisão por zero, pois isto não é possível em matemática.
As formações deste conjunto numérico são relacionadas à três referências básicas :

• Todo número racional pode ser descrito como uma fração, isto é, a/b, sendo que b pertence a Z* (números Inteiros diferente de zero). Por exemplo : 3/6, 8/2, 9/4 e seus opostos (sequências negativas)

• Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita. Por exemplo : 3/10 = 0,3, 5/2 = 2,5, 0,25 = 25/100 = 1/4

• Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas, Por exemplo : 1/3 = 0,333..., 4/11 = 0,363636..., 23/90 - 0,2555

Classificação dos Números Racionais (Q)

• Racionais não-nulos (Q*): Representado pelo acréscimo do '* ' ao lado da letra Q, esse conjunto é composto dos números racionais sem o zero (0).
• Racionais não-negativos: (Q+): Representado pelo acréscimo do sinal '+' ao lado da letra Q, esse conjunto é composto dos números racionais positivos e o zero.

• Racionais não-positivos: (Q- ): Representado pelo acréscimo do sinal '_' ao lado da letra Q, esse conjunto é composto dos números racionais negativos e o zero.

• Racionais positivos: (Q*+): Representado pelo acréscimo dos sinais '* ' e '+', esse conjunto é composto dos números racionais positivos.

• Racionais negativos (Q*-): Representado pelo acréscimo dos sinais '* ' e '_', esse conjunto é composto dos números racionais negativos.

CuriosidadeA letra que representa o conjunto dos números racionais, ou seja, o Q é derivado da palavra inglesa "quotient", que significa quociente.

Números Inteiros

Os números Inteiros são uma extensão dos números Naturais, que foi discorrido anteriormente, ainda sem tratarmos de frações, os números inteiros continuam a sequência lógica da evolução humana, se primeiramente contava-se o que se possuía, como número de pessoas, animais, locais de alimentação, etc, agora começamos a tratar um pouco mais intimamente os números, pois inicia-se o processo de escambo, comércio, dívidas e outras atividades em que podem levar as pessoas a ter de trabalhar com números negativos.
No princípio, não havia sentido em contagem negativa de animais, pois o máximo que se poderia chegar era ao zero, isto é, não há mais animais. Agora, imaginemos que queremos trocar uma vaca por quatro carneiros, porém, eu só possuo dois carneiros, os demais encontram-se pastando e chegam em dois dias, posso fazer a troca, dando os dois que possuo e ficando com a "dívida" de dois outros carneiros.
Os números Naturais podem ser trabalhados com operações de adição (+), subtração (-) e multiplicação (*), porém elas tem um limite, já que não podem obter nenhum número menor do que zero. Este limite não se aplica aos números Inteiros, porém ambas as operações tem limitações quanto à divisão, pois uma divisão pode gerar números fracionários, que não fazem parte desta composição. Todas as operações matemáticas efetuadas com números pertencentes ao conjunto dos números Inteiros tem que resultar em números Inteiros.

O conjunto dos números Inteiros é representado pela letra Z (maiúscula), inclui todos os números inteiros positivos e inteiros negativos. Para indicar que o zero não está fazendo parte do conjunto determinado, indicamos assim Z*. Observe os exemplos a seguir:
 

Z = {.... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}
Z* = {.... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

As reticências (...) indicam que os números continuam indefinidamente.

Podemos notar que no conjunto dos números Inteiros todos os elementos possuem antecessores e sucessores.
Dentro do conjunto dos números Inteiros podemos localizar o conjunto dos números Naturais. Dizemos que N está contido em Z.

Classificação dos Números Inteiros (Z)

• Inteiros não-nulos: Representado pelo acréscimo do '*' ao lado do Z, esse conjunto é composto de números inteiros (positivos e negativos), exceto o zero (0): Z* = {-3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}
• Inteiros não-positivos : Representado pelo acréscimo do '-' ao lado do Z, esse conjunto é composto de números negativos, incluindo o zero (0): Z_= {..., -4,-3,-2,-1, 0}
• Inteiros não-positivos e não-nulos: Representado pelo acréscimo dos símbolos ( _ ) e ( * ) ao lado do Z, esse conjunto é composto de números inteiros do conjunto do Z_ (Inteiros não-positivos), exceto o zero (0): Z*_= {..., -4,-3,-2,-1}
• Inteiros não-negativos: Representado pelo acréscimo do sinal '+', esse conjunto é composto de números positivos, com inclusão do zero (0): Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Assim, podemos notar que, se considerarmos somente os números inteiros e positivos, teremos o conjunto dos números naturais representado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}. Logo o Conjunto Z + é igual ao Conjunto N.
• Inteiros não-negativos e não-nulos: Representado pelo acréscimo dos símbolos ( + ) e ( * ) ao lado do Z, esse conjunto é composto de números inteiros do conjunto do Z+ (Inteiros não-negativos), exceto o zero (0): Z*+ = {1,2,3,4, 5...}. Logo, o conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*, ou seja, dos números Naturais sem o zero (0).

Números Naturais

A matemática foi desenvolvida no decorrer dos séculos, sempre com o objetivo de facilitar as tarefas diárias. Podemos imaginar um pastor de ovelhas que necessite controlar seu rebanho, porém não tem o conhecimento de números, então, como ele faria para obter esse controle ?
Inicialmente, ao sair de seu aprisco, ele juntaria em uma sacola uma pequena pedrinha para cada ovelha que sai, ao chegar de volta, ele depositaria de volta ao pote, uma pedra para cada ovelha que entra, porém, ele só saberia se ouve alguma perda quando chegasse, e encontrasse mais pedrinhas do que ovelhas correspondentes, onde a ovelha se dispersou ? Quantas ovelhas deveria procurar ? Quem cuidaria das demais ovelhas até que el resgatasse a que se perdeu ?
Se ele quisesse controlar também no ponto em que as ovelhas foram levadas para pastar, então ele teria que carregar a sacola com as pedras, certamente isso seria bastante cansativo, porém ele teria um melhor controle sobre suas ovelhas, quando saem, quando chegam para pastar, quando voltam e quando entram no aprisco, isso diminuiria bastante suas preocupações.
Quando este pastor aprende os segredos dos números, então a vida se torna mais simples, ele conta as ovelhas e pode reconta-las a qualquer momento, sem que para isso necessite carregar uma sacola cheia de pedrinhas.
Os números surgem de uma forma bastante intuitiva, já que, normalmente possuímos dez dedos nas mãos, não é difícil imaginar como surgiu o sistema decimal.
A cada ovelha que chega (ou sai) um dedo é levantado, e quando passar o limite dos dez dedos ? Usaremos os dedos dos pés também ? Não, podemos contar, marcar em um galho ou pedra, quantos pares de mãos foram utilizados, se o pastor possuir 55 ovelhas, então ele terá cinco marcações de pares de mãos e mais cinco dedos. Desta forma intuitiva, surgem os números naturais, algo bastante simples de se entender.
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves :
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim: N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } 
- A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Lembrando que estamos falando apenas dos números NATURAIS, portanto não existe, neste conjunto de números, qualquer número negativo, nem fração, apenas números inteiros e positivos, podendo ou não incluir o ZERO, como foi demonstrado acima.